由一道中考试题引发的思考_学习方法网

由一道中考试题引发的思考 来源：网络收集作者：佚名

直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）

（1）当动点落在第①部分时，求证：；

（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

分析：

这是一道开放型试题，这类试题已成为各地中考的必考试题。开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识。过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力。本题的第一问结论确定，但是P点的具体位置不确定，需要学生大胆假设确定其位置，可以得到多种证明方法；第二问，实际就转化为了前面提到的教材的原型，而要求直接作答难度相对较小，显然不成立；第三问，开放性比较强，需要对结论进行探索，并且需要分类讨论。

解：（1）解法一：如图9-1，延长BP交直线AC于点E

∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .

∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,

∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二：如图9-2，过点P作FP∥AC ,

∴ ∠PAC = ∠APF .

∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .

∴ ∠FPB =∠PBD .

∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .

解法三：如图9-3，

∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°

即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.

又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,

∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .

（2）不成立.

（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB .

(b)当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .

或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，

∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.

(c) 当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .

选择(a) 证明：

如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M

∵ AC∥BD ,

∴ ∠PMC =∠PBD .

又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .

选择(b) 证明：如图9-5 ，

∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.

∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB

或∠PAC 课前预习 =∠PBD+∠APB

或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.

选择(c) 证明：

如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F

∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .

∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,

∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .

温馨提示：所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型。开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论选自.学习方法网训练 www.xxffw.com证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。而要想做好此类试题我认为应从教材入手，教材中的习题和例题都有一定的探索性，我们只有立足教材充分发挥习题的作用，反复推敲，对习题进行一题多解和一题多变的变式训练，引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识发生和发展的过程，增强学生的应变能力，有利于巩固基础知识，发展创新思维，提高数学素养。